Učenje Inženjerske mehanike uz pomoć analogija

Inženjerska mehanika, koja predstavlja most između osnovnih i inženjerskih predmeta se obično, od strane studenata svrstava među „teže“ predmete na osnovnim inženjerskim studijama. Inženjerska mehanika ima svoje specifičnosti koje je razlikuju u odnosu na „čisto“ osnovne predmete , kao što je naprimer, matematika, fizika, hemija i druge, a u čiju grupu je ponekad svrstavaju, iako pogrešno, jer je mehanika bliža inženjerskim disciplinama. No, sa druge strane, Mehanika se ne može svrstati niti u čisto inženjerske predmete u kojima se studenti fokusiraju na znanja iz oblasti koju studiraju. Jedan od razloga da se Mehanika ne može smatrati niti kao „čisto“ inženjerski predmet je zbog strogog logičkog sistema na kojem se ona zasniva. Zbog ovoga, kao i zbog značajnog broja koncepata i formula koje je potrebno na kursevima Mehanike pokriti, leži i već pomenuta kvalifikacija o „težem“ predmetu na inženjerskim studijama.

Imajući ovo u vidu, jedan od izazova sa kojim se sreće nastavnik Mehanike je, kako „olakšati“ učenje i prihvatanje znanja iz Mehanike, a istovremeno uspeti preći sve ono što je predviđeno planom i programom, i sve to u jednom relativno kratkom vremenskom roku.

Jedan od mogućih načina je i neprestano isticanje mnogih prisutnih analogija koje postoje između različitih fizičkih veličina. Ove analogije se često manifestuju sličnim ili istim matematičkim obrascima ili formulama. Na ovaj način se može značajno olakšati pamćenje formula, ali isto tako i fenomena.

Inženjerska mehanika se inače može podeliti na dva glavna dela, na Teorijsku mehaniku i na deo koji se se naziva različitim imenima, a kod nas je uobičajen naziv Otpornost materijala. Što se tiče Teorijske mehanike, on se „tradicionalno“ takođe deli na tri celine: Statiku, Kinematiku i Dinamiku.

Od značaja je, da se ovi delovi ne posmatraju i ne uče potpuno odvojeno, već neprestano, na svaki mogući način ih povezivati, povezivati fizičke veličine koje se razmatraju u pojedinim delovima. Ovde ću navesti samo neke od brojnih primera uspostavljanju mogućih veza i ograničiću se samo na delove Teorijske mehanike, statiku, kinematiku i dinamiku. Takođe bih hteo da naglasim da ovo nije tekst u strogom udžbeničkom stilu ili stilu naučnog rada. Cilj mi je da na jednom relativno ograničenom prostoru navedem što više činjenica i pojmova u vezi sa naslovom, tako da je sigurno da one ne mogu biti opisane i definisane u strogoj formi, a čemu je i mesto na časovima nastave. Potaknuti studenta na dalje razmišljanje, na samostalno dalje proširenje ove teme, na postavljanje pitanja, komentara i uopšte pokretanje jedne plodne diskusije, je cilj ovog teksta.

Kao što je nekako i prirodno, započećemo od tačke, objekta bez dimenzije. To je i inače prvi objekat proučavanja koji se uvodi u Teorijskoj mehanici. Položaj i kretanje tačke je u potpunosti definisano vektorom položaja. Kretanjem ove tačke, a što je u stvari definisano kretanjem vrha prethodno pomenutog vektora položaja, se generiše određena linija koja se naziva trajektorija. Još je Njutn za tangentu na takvu liniju vezao pojam trenutne brzine uvođenjem operatora izvoda. Nakon toga je bilo potrebno, u cilju potpunog analitičkog konstruisanja krivih linija, da se pored prvog, uvede i drugi izvod, a što znači promena brzine., tj., trenutno ubrzanje.  Što se tiče pomenute tačke, njoj se može dodati svojsvo materijalnosti, tj., masa koja u potpunosti definiše njeno svojstvo inercije. Kada posmatramo jednu tačku, dejstva okoline na nju se predstavljaju silama, a koje se uvek zbog činjenice da se sučeljavaju u toj tački, mogu predstaviti samo sa jednom jedinom silom koja se naziva rezultantom.  Dalje, uz pomoć pojmova mase i brzine se mogu definisati dve mere mehaničkog kretanja tačke: količina kretanja koja je vektor, i kinetička energija koja je skalarna veličina. Najpoznatiji oblik drugog Njutnovog zakona povezuje silu, masu i ubrzanje.  Uz pomoć pojma sile i vektora pomeranja i vremena se definišu mere mehaničkog dejstva, rad i impuls sile.  Kao što se vidi, sve nabrojane veličine su vezane za tačku, i za koju sa geometrijskog stanovišta, ima smisla vezati samo liniju, odnosno tačku kao deo te linije. Stoga, sve nabrojane veličine, a koje se odnose na tačku, možemo tretirati kao „linijske“ veličine.

Treba pomenuti da se u statici uvodi i pojam momenta sile za tačku kao vektorski umnožak vektora položaja i sile. U dinamici materijalne tačke se uvodi pojam momenta količine kretanja, kao vektorskog umnoška vektora položaja i količine kretanja. Treba uočiti datu analogiju.

Kada se želimo baviti analzom mehaničkog stanja nekog tela, tada je potrebno pored linijskih veličina, uvesti još neke dodatne veličine, a koje su u direktnoj vezi sa ugaonom koordinatom, ili uglom. Stoga ćemo ove veličine zvati „ugaonim“ veličinama. Od značaja je, kad god je to moguće, uspostavljati analogiju između linijskih i ugaonih veličina.

Kada posmatramo telo, jasno je da se ono sastoji od više od samo jedne tačke. Stoga veličine koje su bile uvedene za mehaničku analizu tačke, moraju sada biti proširene, i uvedene neke nove. Uvde se nameće potreba uvođenja ugla, odnosno njegove promene. Kao što smo kod tačke imali pojam brzine i ubrzanja, ovde imamo ugaonu brzinu kao prvi izvod ugaone koordinate, odnosno ugaono ubrzanje kao prvi izvod ugaone brzine. Zatim, imajući u vidu da je masa  mera inertnosti za materijalnu tačku, u slučaju tela uvodimo moment inercije. Ako posmatramo telo koje se obrće oko ose, umnožak momenta inercije i ugaonog ubrzanja odgovara momentu sila za tu osu, gde treba imati u vidu analogiju sa drugim Njutnovim zakonom za tačku. Slično, u ovom slučaju obrtanja oko ose, moment količine kretanja je jednak proizvodu momenta inercije i ugaone brzine, gde se jasno vidi analogija sa materijalnom tačkom. Kod materijalne tačke imamo važnu teoremu o promeni količine kretanja, gde je izvod količine kretanja jednak sili, odnosno rezultanti sila. U slučaju obrtanja oko ose, izvod momenta količine kretanja je jednak momentu sila za tu osu. Oblik kinetičke energije za obrtanje oko ose odgovara obliku kinetičke energije za materijalnu tačku, gde na mestu mase stoji moment inercije za tu osu, a na mestu kvadrata brzine stoji kvadrat ugaone brzine. Slično, kao što se (elementarni) rad sile za tačku određuje kao umnožak sile i elementarne promene prirodne koordinate, tako i u slučaju (elementarnog) rada koji vrši sila pri obrtanju oko ose, ovaj rad se definiše kao proizvod momanta te sile za osu i elementarne promene ugla. Takođe i u slučaju drugih načina kretanja tela je moguće uspostaviti sličnu analogiju. Jedna od važnih analogija je da se prilikom bilo kakvog kretanja tela pod dejstvom proizvoljnog sistema sila, može  uvek koristiti relacija koja po obliku odgovara drugom Njurnovom zakonu, tako što se ova relacija primeni za jednu specijalnu tačku tela koja se naziva centar mase.

Ovome treba dodati i činjenicu da između linijskih i ugaonih veličina može biti uspostavljena odgovarajuća veza. Naprimer, prirodna koordinata u slučaju obrtanja oko ose se predstavlja kao umnožak rastojanja do ose  (linijska veličina) i ugla. Brzina tačke je jednaka umnošku rastojanja i ugaone brzine, tangencijalno ubrzanje je umnožak rastojanja i ugaonog ubrzanja. Ako zamislimo telo koje se sastoji od konačnog broja diskretnih materijalnih tačaka, tada je momet inercije za osu jednak konačnoj sumi od umnoška masa pojedinih materijalnih tačaka i kvadrata njihovih rastojanja do ose. Već pomenute veličine, moment sile za tačku, moment sile za osu i moment količine kretanja u suštini povezuju odgovarajuće linijske i ugaone veličine.

Ovo su samo neki od primera uspostavljanju analogija između različitih veličina, i to samo u delu koji se može podvesti pod Teorijsku mehaniku. Bilo bi jako dobro da studenti pažljivo pročitaju ovaj tekst, da sve veličine koje su pomenute u tekstu i sami zapišu na papir, na jedan pregledan način i da budu sigurni da im je sve napisano u potpunosti jasno, kao i da pokušaju da sami uspostave još neku analogiju između veličina koje su čuli na kursevima mehanike. Takođe, od izuzetne važnosti je da se, prilikom zapisivanja konkretnih veličina i relacija, uvek vodi računa o prirodi tih veličina, u smislu da li su vektorske ili skalarne prirode. Posebno je interesantno da se uspostavljaju i odgovarajuće analogije između veličina u Teorijskoj mehanici i u Otpornosti materijala, budući da se često ove dva dela Inženjerske mehanike, razmatraju prilično odvojeno, a što sigurno ne ide u prilog istinskom i suštinskom razumevanju principa i koncepata na kojima se dalje zasnivaju ostali inženjerski predmeti.

dr Zvonko Rakarić

vanredni profesor UNO Mehanika